直線回歸

　　一、直線回歸方程的意義

　　計(jì)算出相關(guān)系數(shù)后，如果r顯著，且又需要進(jìn)一步了解兩變量中一個(gè)變量依另一個(gè)變量而變動(dòng)的規(guī)律時(shí)，則可進(jìn)行回歸分析。

　　“回歸”是個(gè)借用已久因而相沿成習(xí)的名稱。若某一變量（Y)隨另一變量（X)的變動(dòng)而變動(dòng)，則稱X為自變量，Y為應(yīng)變量。這種關(guān)系在數(shù)學(xué)上被稱為Y是X的函數(shù)，但在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域里，自變量與應(yīng)變量的關(guān)系和數(shù)學(xué)上的函數(shù)關(guān)系有所不同。例如成年人年齡和血壓的關(guān)系，通過(guò)大量調(diào)查，看出平均收縮壓隨年齡的增長(zhǎng)而增高，并且呈直線趨，但各點(diǎn)并非恰好都在直線上。為強(qiáng)調(diào)這一區(qū)別，統(tǒng)計(jì)上稱這是血壓在年齡上的回歸。

　　直線回歸分析的任務(wù)就是建立一個(gè)描述應(yīng)變量依自變量而變化的直線方程，并要求各點(diǎn)與該直線縱向距離的平方和為最小。按這個(gè)要求計(jì)算回歸方程的方法稱為最小平方法或最小二乘法。所建立的方程是一個(gè)二元一次方程式，其標(biāo)準(zhǔn)形式是：

=a+bX(9.5)

　　式（9.4)為由X推算得來(lái)的Y值，即Y的估計(jì)值：a稱為截距，它是當(dāng)X=0時(shí)的值，即回歸直線與縱軸的交點(diǎn)：b稱為回歸系數(shù)，它是回歸直線的斜率，其含意是當(dāng)X每增加一個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)增（或減)b個(gè)單位。當(dāng)a與b求得后，直線回歸方程就確定了。

　　二、直線回歸方程的計(jì)算法

　　仍以表9.1資料為例，根據(jù)前面的相關(guān)分析以及醫(yī)學(xué)上有關(guān)凝血的機(jī)理，可知凝血時(shí)間依凝血酶濃度而異，且有密切的關(guān)系。因此可進(jìn)一步作由凝血酶濃度（X)推算凝血時(shí)間（Y)的回歸方程。求直線回歸方程的步驟如下：

　　1．列回歸計(jì)算表（見表9.1)，計(jì)算∑X、∑Y、∑X²、∑Y²、∑XY。

　　2．計(jì)算X、Y、∑(X-X)²、∑(X－X)(Y-Y)

　　X=∑X/n=15.1/15=1.01

　　Y=∑Y/n=222/15=14.80

　　∑(X-X)²=∑X²-(∑X)²/n=0.2093

　　∑(X-X)(Y-Y)=∑XY-∑X·∑Y/n=-1.7800

　　3．計(jì)算回歸系數(shù)b和截距a。b和a兩值計(jì)算公式均是根據(jù)最小二乘法的原理推算出來(lái)的，其公式如下：

（9.5)

　　a=Y-bX　　　　　　　 　　　　　　 （9.6)

　　本例b=-1.7800/0.2093=-8.5045

　　a=14.80-(-8.5045)(1.01)=23.3895

　　4．列出回歸方程，繪制回歸直線，將求得的b和a的值代入到式（9.4)，即得所求的回歸方程：

=23.3895-8.504X

　　在凝血酶濃度的實(shí)測(cè)范圍內(nèi)，即X=0.8到X=1.2之間，任選兩個(gè)X值（一般選相距較遠(yuǎn)且直角坐標(biāo)系上容易讀出者)，代入此回歸方程，即得相應(yīng)的兩個(gè)值。例如：

　　取　X₁=0.8，則₁=23.3895-8.5045×0.8=16.59,

　　X₂=1.2　則₂=23.3895-8.5045×1.2=13.18。

　　連接（0.8、16.59)和（1.2、13.18)兩點(diǎn)所得直線，即為由凝血酶濃度推算凝血時(shí)間的回歸直線（見圖9.9)。須注意回歸直線必通過(guò)（χ，y )點(diǎn)，并穿過(guò)觀察點(diǎn)群，直線上下各有一些點(diǎn)散布著，否則計(jì)算有誤。

　　三、直線回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)

　�。ㄒ�)樣本回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

　　根據(jù)例9.1資料求得的是樣本回歸系數(shù)b，有抽樣誤差的，需作假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)其是否是從回歸系數(shù)為0的假設(shè)總體（即β=0)中隨機(jī)抽得的，也就是檢驗(yàn)b與0的差別有無(wú)顯著性。如果差別有顯著性，可認(rèn)為X與Y間有直線回歸存在。

　　樣本回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)亦用t檢驗(yàn)。

　　H₀：β=0即Y的變化與X無(wú)關(guān)；

　　H₁：β≠0。

　　計(jì)算公式為：

 　 （9.7)

　　分母S_b是樣本回歸系數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算公式為：

　　　　　　　 　 　 （9.8)

　　分子Sy.x為各觀察值Y距回歸線的標(biāo)準(zhǔn)差，即當(dāng)X的影響被扣去以后Y方面的變異，可按下式計(jì)算：

　　　　　　　 （9.9)

　　式中∑（Y-)²為估計(jì)誤差平方和，常用下式計(jì)算：

（9.10)

　　根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論，同一批資料計(jì)算所得t_r與t_b是相同的，即t_r=t_b。處理資料時(shí)可檢驗(yàn)相關(guān)顯著性代替其回歸顯著性。

　　由于例9.1資料的r在α=0.01水準(zhǔn)上顯著，故可判斷樣本回歸系數(shù)-8.5045與0的相差有顯著性，說(shuō)明存在凝血時(shí)間隨凝血酶濃度變化而變化的回歸關(guān)系。

　�。ǘ�)兩樣本回歸系數(shù)相差的假設(shè)檢驗(yàn)

　　若有兩個(gè)可以比較的樣本，它們的回歸系數(shù)分別為b₁與b₂，經(jīng)檢驗(yàn)都為顯著，回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤分別為S_b1和S_b2。b₁與b₂相差的顯著性也可用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)，其計(jì)算公式為：

（9.11)

　　ν=n₁+n₂-4

　　式（9.11)中S_b1-b2為兩樣本回歸系數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，其計(jì)算公式為：

　(9.12)

　　式（9.12)中S²_C為兩樣本回歸系數(shù)的合并方差，其計(jì)算公式為：　

　　 　(9.13)

　　式（9.13)中∑（Y-)²為估計(jì)誤差平方和，即觀察值Y與估計(jì)值的差數(shù)（Y-)的平方之和。其計(jì)算公式見公式（9.10)，

　　現(xiàn)以實(shí)例說(shuō)明兩樣本回歸系數(shù)t檢驗(yàn)的步驟。

　　例9.2　表9.2資料為同一批白蛋白于38℃與25℃條件下，不同時(shí)間（分)的凝固百分比，問(wèn)由此而得的兩樣本回歸系數(shù)相差是否顯著？

表9.2　白蛋白在兩種溫度下各不同時(shí)間的凝固百分比

　　本例圖示見圖9.10，本例計(jì)算見圖下：

圖9.10　白蛋白在兩種溫度下各不相同時(shí)間的凝固百分比

　　r₁=0.998(P<0.01) b₁=3.389 ∑(Y₁-₁)²=5.7927n₁=6

　　r₂=0.996(P<0.01) b₂=4.424∑(Y₂-₂)²=24.5857n₂=6

　　∑(X₁-X₁)²=∑(X_２-X_２)²=157.5000

　　1．H₀：β₁-β₂=0

　　H₁：β₁-β₂≠0

　　α=0.01

　　2．計(jì)算t值：

　　3．查t值表作結(jié)論：以ν=6+6-4=8查t值表，得

　　t_0.01,8=2.355,今∣t∣>t_0.01,8,故P<0.01。

　　4．判斷結(jié)果：按α=0.01水準(zhǔn)，拒絕H₀，接受H₁，故兩個(gè)回歸系數(shù)差別顯著。說(shuō)明兩條回歸直線的斜率不同，兩條回歸直線中X對(duì)Y的影響規(guī)律不一致�，F(xiàn)b₂>b₁，說(shuō)明隨著時(shí)間的增加，蛋白質(zhì)在38℃時(shí)凝固百分比的增加量比在25℃時(shí)高。