衛(wèi)生學(xué)電子教材-第八章 計(jì)數(shù)資料的統(tǒng)計(jì)方法 :第三節(jié) 計(jì)數(shù)資料的x2檢驗(yàn)

上一節(jié)介紹的計(jì)數(shù)資料的u檢驗(yàn)，只能推斷兩個(gè)兩類(lèi)構(gòu)成總體的某類(lèi)率或某類(lèi)構(gòu)成比是否相等。本節(jié)介紹計(jì)數(shù)資料的x²檢驗(yàn)（chi-square test)，是計(jì)數(shù)資料的通用假設(shè)檢驗(yàn)方法，可推斷兩個(gè)或多個(gè)兩類(lèi)構(gòu)成總體的某類(lèi)率或某類(lèi)構(gòu)成比是否相等；可推斷兩個(gè)或多個(gè)多類(lèi)構(gòu)成總體的分類(lèi)構(gòu)成比是否相同。

x²檢驗(yàn)要求把樣本的分類(lèi)個(gè)體數(shù)排成行×列表或列聯(lián)表（contingency table)�，F(xiàn)以最簡(jiǎn)單的2×2表即四格表（fourfold table)來(lái)說(shuō)明x²檢驗(yàn)的基本思想。

設(shè)要推斷某人群男和女的某種疾病的患病率是否相等，即該病是否和性別有關(guān)。某人群為總體，該人群的每個(gè)人為個(gè)體。個(gè)體有2個(gè)研究因素，性別分男和女，某種疾病分有和無(wú)。從總體抽取樣本，把樣本的分類(lèi)個(gè)體數(shù)a、b、c、d排成四格表，如表8－7，其2行合計(jì)為n₁.和n₂.，2列合計(jì)為n.₁；和n.₂，總合計(jì)為n。 

從該人群總體中隨機(jī)抽樣構(gòu)成四格表資料有3種抽樣方法：①?gòu)脑摽傮w抽取含量為n的一個(gè)樣本，按性別的男和女及疾病的有和無(wú)的組合清點(diǎn)個(gè)體數(shù)；②把該總體分成男和女兩個(gè)總體，分別抽取含量為n₁.和n₂.的兩個(gè)樣本，按疾病的有和無(wú)清點(diǎn)個(gè)體數(shù)；③把該總體分成有病和無(wú)病兩個(gè)總體，分別抽取含量為n.₁和n.₂的兩個(gè)樣本，按性別的男和女清點(diǎn)個(gè)體數(shù)。①和②都是由男和女的樣本患病率來(lái)推斷男和女的總體患病率是否相等。③是由有病和無(wú)病的樣本男性（或女性)構(gòu)成比來(lái)推斷有病和無(wú)病的總體男性構(gòu)成比是否相等，若相等就可間接推斷男和女的總體患病率相等；若不等就可間接推斷男和女的總體患病率不等。

3種抽樣方法計(jì)算樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量x²值的公式相同，現(xiàn)以第1種和第2種抽樣方法說(shuō)明之。 a、b、c、d為四格表的實(shí)際頻數(shù)（actual frequency)，用A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂表示。檢驗(yàn)假設(shè)是男和女的總體患病率相等，即π₁=π₂=π。如果檢驗(yàn)假設(shè)成立，則四格表的合計(jì)率n.₁/n應(yīng)是π的最佳估計(jì)值，用這個(gè)估計(jì)值和2個(gè)行合計(jì)算出四格表的理論頻數(shù)（theoretical frequency)，T₂₁=n₂.n.₁/n，T₁₂=n₁.n.₂/n，同理可得T₁₂=n₁.n.₂/n，T₂₂=n₂.n.₂/n。把行合計(jì)記為n_R，列合計(jì)記為n_C，則求行×列表的R行C列的理論頻數(shù)T_RC的公式為

求行×列表樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量x²值的基本公式為

∑表示對(duì)行×列表的所有格子求和，如行數(shù)用R表示，列數(shù)用C表示，則共有R×C格。x²分布只有1個(gè)參數(shù)——自由度ν，對(duì)于行×列表為ν=（R-1)（C-1)（8·19)行×列表的自由度可以這樣理解：在R個(gè)行合計(jì)數(shù)和C個(gè)列合計(jì)數(shù)固定的情況下，R×C個(gè)格子可自由取值的格子數(shù)。如四格表的自由度ν=（2-1)（2-1)=1，即4個(gè)格子只有1個(gè)格子可自由取值，其他3個(gè)格子取值可用行合計(jì)數(shù)或列合計(jì)數(shù)用減法求得。因此行×列表只需用（8·17)式求ν個(gè)理論頻數(shù)，其余的理論頻數(shù)可用行合計(jì)數(shù)或列合計(jì)數(shù)用減法求得。行×列表x²值反映R×C個(gè)格子的實(shí)際頻數(shù)和理論頻數(shù)的差別程度，如果檢驗(yàn)假設(shè)成立，則x²值越大，它由抽樣誤差造成的P值越

常、可疑和冠心病三者的眼底動(dòng)脈硬化的分級(jí)構(gòu)成比不同或不全相同)。

四格表資料有一般四格表資料和配對(duì)四格表資料，用于推斷兩個(gè)總體率（或總體構(gòu)成比)是否相等的假設(shè)檢驗(yàn)。一般四格表資料的x²檢驗(yàn)和上一節(jié)介紹的推斷兩個(gè)總體率是否相等的u檢驗(yàn)等價(jià)。配對(duì)四格表資料的x²檢驗(yàn)相對(duì)于一般四格表資料的x²檢驗(yàn)，可提高兩個(gè)總體率差別的假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效能，或可減少樣本含量。

 1.四格表資料的x²檢驗(yàn) 四格表資料如表8－7。當(dāng)每格的理論頻數(shù)T≥5時(shí)，計(jì)算x²值既可用基本公式（8·18)；也可用由基本公式推導(dǎo)出的下述四格表的專(zhuān)用公式，它省出求理論頻數(shù)的麻煩，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

當(dāng)四格表資料的總合計(jì)數(shù)n≥40而有理論頻數(shù)1≤T＜5時(shí)，需用下述校正公式：

注意的是：當(dāng)四格表資料的n＜40而有一格的理論頻數(shù) T＜5時(shí)，或有一格的理論頻數(shù)T＜1時(shí)，則用上述校正公式也不行，需查專(zhuān)門(mén)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)書(shū)所介紹的假設(shè)檢驗(yàn)方法。

例8·7問(wèn)例8·6中某山區(qū)小學(xué)男生和女生的肺吸蟲(chóng)感染率有無(wú)差別（用x²檢驗(yàn))？其四格表資料如表8－9，計(jì)算出兩個(gè)樣本率是便于觀察比較。 

設(shè)該山區(qū)小學(xué)男生總體的肺吸蟲(chóng)感染率為π₁，女生總體的肺吸蟲(chóng)感染率為π₂，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

若用基本公式（8·18)求x²值，需先用公式（8·17)求各格的理論頻數(shù)：80×36/165=17.45，80-17.45=62.55，36-17.45=18.55，85-18.55=66.45。于是

若用四格表專(zhuān)用公式（8·20)求x²值，則有

兩者x²值應(yīng)相同，如有微小差別是由于計(jì)算過(guò)程中尾數(shù)的舍入誤差。

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H11，認(rèn)為該山區(qū)小學(xué)男生和女生的肺吸蟲(chóng)感染率有差別，男生高于女生。

例8·8某醫(yī)師用甲、乙兩療法治療小兒?jiǎn)渭兿�化不良，治療結(jié)果如表8－10，問(wèn)兩種療法的治愈率是否相等？

設(shè)對(duì)小兒?jiǎn)渭冃韵�化不良的總體治愈率甲療法為π₁，乙療法為π₂，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

最小的理論頻數(shù)為T(mén)₁₂=33×9/71=4.18，需用校正公式。據(jù)（8·22)式有

查x²界值表得P＞0.05。按α=0.05水準(zhǔn)不拒絕H₀，尚不能認(rèn)為甲、乙兩療法對(duì)小兒?jiǎn)渭冃韵�化不良的治愈率不等�?/P>

2.配對(duì)四格表資料的x²檢驗(yàn) 和上一章第三節(jié)中介紹的計(jì)量資料的配對(duì)一樣，配對(duì)設(shè)計(jì)有同源配對(duì)和異源配對(duì)。只是計(jì)量資料的配對(duì)其結(jié)果是數(shù)值變量；而計(jì)數(shù)資料的配對(duì)其結(jié)果是分類(lèi)變量。

配對(duì)四格www.med126.com表的樣本資料如表8－11。四個(gè)格子內(nèi)的個(gè)體數(shù)（同源配對(duì))或?qū)ψ訑?shù)（異 

源配對(duì))a、b、c、d，可分作兩種方法（如甲法和乙法)結(jié)果相同的個(gè)體數(shù)或?qū)ψ訑?shù)a和d；結(jié)果不同的個(gè)體數(shù)或?qū)ψ訑?shù)b和c。用b和c的差別來(lái)推斷兩個(gè)總體率（如甲法和乙法兩個(gè)總體的陽(yáng)性率)是否相等。當(dāng)n≥40時(shí)，計(jì)算x²值的公式為

若n＜40，需用下述校正公式：

例8·9有28份咽喉涂抹標(biāo)本，把每份標(biāo)本分別接種在甲、乙兩種白喉桿菌培養(yǎng)基上，觀察兩種白喉?xiàng)U菌生長(zhǎng)情況，結(jié)果如表8－12。問(wèn)兩種白喉?xiàng)U菌培養(yǎng)基的效果有無(wú)差別？設(shè)甲、乙兩種白喉?xiàng)U菌培養(yǎng)基的培養(yǎng)結(jié)果的總體陽(yáng)性率分別為π₁和π₂，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

ν=1

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H11，認(rèn)為甲、乙兩種白喉?xiàng)U菌培養(yǎng)基的效果有差別，甲培養(yǎng)基的陽(yáng)性率高于乙培養(yǎng)基的陽(yáng)性率。

  現(xiàn)在介紹一般的行×列表資料的x²檢驗(yàn)。它當(dāng)然也適用于四格表資料，但通常是指行數(shù)或列數(shù)大于2的行×列表資料，可用于推斷多個(gè)兩類(lèi)構(gòu)成總體的某類(lèi)率或某類(lèi)構(gòu)成比是否相等；可用于推斷兩個(gè)或多個(gè)多類(lèi)構(gòu)成總體的分類(lèi)構(gòu)成比是否相同。

行×列表資料的x²檢驗(yàn)可用基本公式（8·18)；但一般用由基本公式推導(dǎo)出的下述簡(jiǎn)捷公式，它省去求理論頻數(shù)的麻煩，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

式中n為總合計(jì)數(shù)，A為每個(gè)格子的實(shí)際頻數(shù)，n_R和n_C分別為與A同行和同列的合計(jì)數(shù)。

注意的是：行×列表資料用x²檢驗(yàn)，當(dāng)有1/5及以上格子的理論頻數(shù)T＜5，或有一個(gè)格子T＜1時(shí)，應(yīng)該與相鄰組合并以增加理論頻數(shù)，達(dá)到1/5格子以下T＜5。應(yīng)注意合并組的合理性，如年齡分組可以并組；但按性質(zhì)分組（如血型的O型、A型、B型和AB型)便不能并組，只有增加樣本含量。

還要注意的是：推斷多個(gè)總體率（或總體構(gòu)成比)是否相等的x²檢驗(yàn)，結(jié)論為拒絕H₀、接受H₁時(shí)，是認(rèn)為各總體率不等或不全相等，其含意為不能確定其中任意兩個(gè)總體率都不等，只能說(shuō)其中至少有兩個(gè)總體率不等。

例8·10某市重污染區(qū)、一般市區(qū)和農(nóng)村的出生嬰兒的致畸情況如表8－13。問(wèn)3個(gè)地區(qū)的出生嬰兒的致畸率有無(wú)差別？

設(shè)該市重污染區(qū)、一般市區(qū)和農(nóng)村的出生嬰兒總體的致畸率分別為π₁、π₂和π₃，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂=π₃

H₁：π₁、π₂和π₃不等或不全相等

α=0.05

據(jù)（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.01。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為該市重污染區(qū)、一般市區(qū)和農(nóng)村出生嬰兒的致畸率有差別。

例8·11據(jù)表8－14資料，問(wèn)我國(guó)南、北方鼻咽癌患者（按籍貫分)的病理組織學(xué)分類(lèi)的構(gòu)成比是否相同？ 

假設(shè)為：

H₀：南、北方鼻咽癌患者總體的病理組織學(xué)分類(lèi)的構(gòu)成比相同

H₁：南、北方鼻咽癌患者總體的病理組織學(xué)分類(lèi)的構(gòu)成比不同

α=0.05據(jù)（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為我國(guó)南、北方鼻咽癌患者的病理組織學(xué)分類(lèi)的構(gòu)成比不同。

例8·12 某工廠在冠心病調(diào)查中研究冠心病與眼底動(dòng)脈硬化的關(guān)系，共調(diào)查588人，資料如表8－15。問(wèn)冠心病與眼底動(dòng)脈硬化有無(wú)關(guān)系？

假設(shè)為：

H₀：總體冠心病與眼底動(dòng)脈硬化無(wú)關(guān)

H₁：總體冠心病與眼底動(dòng)脈硬化有關(guān)

α=0.05

據(jù)（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.01。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為冠心病與眼底動(dòng)脈硬化有關(guān)（即正填寫(xiě)內(nèi)容